Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+3x，其圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l與直線x-6y-7=0垂直，則直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（　�。�

• A、1
• B、3
• C、9
• D、12

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1）=3a+3，由3a+3=-6求得a的值，代入原函數(shù)解析式，求出f（1），由直線方程的點(diǎn)斜式得到l的方程，求出其在兩坐標(biāo)軸上的截距，由三角形的面積公式得答案．

解答：解：由f（x）=ax³+3x，得
f′（x）=3ax²+3，f′（1）=3a+3．
∵函數(shù)f（x）=ax³+3x在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l與直線x-6y-7=0垂直，
∴3a+3=-6，解得a=-3．
∴f（x）=-3x³+3x，
則f（1）=-3+3=0．
∴切線方程為y=-6（x-1），
即6x+y-6=0．
取x=0，得y=6，取y=0，得x=1．
∴直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為

1

2

×6×1=3．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程，過曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．