Question

記函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，則稱以（x₀，x₀）為坐標的點為函數(shù)y=f（x）圖象上的不動點．
（1）若函數(shù)f（x）=

2x-1

x+a

的圖象上有且僅有兩個不動點，試求a的取值范圍．
（2）已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R且a＞0），滿足

f(0)≥1 f(1+sina)≤1(a∈R)

，且y=f（x）的圖象上有兩個不動點（x₁，x₁），（x₂，x₂），記函數(shù)y=f（x）的對稱軸為x=x₀，求證：如果x₁＜2＜x₂＜4，那么x₀＞-1．

Answer 1

考點：綜合法與分析法(選修）

專題：綜合題,綜合法

分析：（1）根據(jù)不動點的定義，得出方程x₀²+（a-2）x₀+1=0，利用函數(shù)f（x）=

2x-1

x+a

的圖象上有且僅有兩個不動點，求a的取值范圍；
（2）由x₁＜2＜x₂＜4轉(zhuǎn)化為g（x）=f（x）-x=0有兩根：一根在2與4之間，另一根在2的左邊，利用一元二次方程根的分布可證．

解答：解：（1）若點（x₀，x₀）是不動點，則

2x0-1

x0+a

=x₀，
即x₀²+（a-2）x₀+1=0，
由題意函數(shù)f（x）=

2x-1

x+a

的圖象上有且僅有兩個不動點，∴a=4．
（2）設g（x）=f（x）-x=ax²+（b-1）x+1，
∵a＞0，
∴由條件x₁＜2＜x₂＜4，
得g（2）＜0，g（4）＞0．即

4a+2b-1＜0 16a+4b-3＞0

由可行域可得

b

a

＜2，∴x₀=-

b

2a

＞-1．

點評：本題是新定義類型題目．利用函數(shù)的零點求參數(shù)范圍問題，通常有兩種解法：一種是利用方程中根與系數(shù)的關(guān)系或利用函數(shù)思想結(jié)合圖象求解．二種是構(gòu)造兩個函數(shù)分別作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解．此類題目也體現(xiàn)了函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合的思想．