Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax³+x²（a∈R）在x=-$\frac{4}{3}$處取得極值．
（1）確定a的值和f（x）的極值；
（2）若g（x）=f（x）e^x，討論g（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（-$\frac{4}{3}$）=0，求出a的值，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）對(duì)f（x）求導(dǎo)得f′（x）=3ax²+2x，
因?yàn)閒（x）在x=-$\frac{4}{3}$處取得極值，所以f′（-$\frac{4}{3}$）=0，
即3a•$\frac{16}{9}$+2×（-$\frac{4}{3}$）=$\frac{16a}{3}$-$\frac{8}{3}$=0，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴f（-$\frac{4}{3}$）_極大值=$\frac{16}{27}$，f（0）_極小值=0．
（2）由（1）得g（x）=（$\frac{1}{2}$x³+x²）e^x，
故g′（x）=$\frac{1}{2}$x（x+1）（x+4）e^x．
令g′（x）=0，解得x=0或x=-1或x=-4．
當(dāng)x＜-4時(shí)，g′（x）＜0，故g（x）為減函數(shù)；
當(dāng)-4＜x＜-1時(shí)，g′（x）＞0，故g（x）為增函數(shù)；
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，g′（x）＜0，故g（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，故g（x）為增函數(shù)．
綜上知，g（x）在（-∞，-4）和（-1，0）上為減函數(shù)，
在（-4，-1）和（0，+∞）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．