Question

14．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，P（1，m）是拋物線C上的一點，且|PF|=2．
（1）若橢圓$C'：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{n}=1$與拋物線C有共同的焦點，求橢圓C'的方程；
（2）設(shè)拋物線C與（1）中所求橢圓C'的交點為A、B，求以O(shè)A和OB所在的直線為漸近線，且經(jīng)過點P的雙曲線方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由拋物線的定義可得$PF=1+\frac{p}{2}=2$，即p=2，可得拋物線的方程，結(jié)合題意可得橢圓$C'：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{n}=1$中有4-n=1，解可得n的值，代入橢圓的標準方程即可得答案；
（2）聯(lián)立拋物線、橢圓的方程，消去y得到3x²+16x-12=0，解可得x的值，即可得A、B的坐標，進而可得雙曲線的漸近線方程，由此設(shè)雙曲線方程為6x²-y²=λ（λ≠0），結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)可得λ的值，即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，拋物線C：y²=2px中，P到焦點距離等于P到準線距離，
所以$PF=1+\frac{p}{2}=2$，p=2
故拋物線的方程為C：y²=4x；
又由橢圓$C'：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{n}=1$，可知4-n=1，
即n=3，
故所求橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去y得到3x²+16x-12=0，解得${x_1}=\frac{2}{3}，{x_2}=-6$（舍去）．
所以$A（\frac{2}{3}，\frac{2}{3}\sqrt{6}），B（\frac{2}{3}，-\frac{2}{3}\sqrt{6}）$，則雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{6}$x，
由漸近線$\sqrt{6}x±y=0$，可設(shè)雙曲線方程為6x²-y²=λ（λ≠0）．
由點P（1，m）在拋物線C：y²=4x上，解得m²=4，P（1，±2），
因為點P在雙曲線上，∴6-4=λ=2，
故所求雙曲線方程為：$3{x^2}-\frac{y^2}{2}=1$．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，涉及橢圓、雙曲線以及拋物線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是利用拋物線的性質(zhì)求出拋物線、橢圓的標準方程．