Question

已知f（x）=（1+x）^α（1+）^β（α，β，x∈R⁺），
（1）求f（x）的最小值；
（2）如果y＞0，求證：（）^α+β≤（）^α•（）^β；
（3）如果α₁，α₂，…α_n，β₁，β₂，…β_n＞0，求證：（）^{α1+α2+…+αn}≤（）^α1•（）^α2…（）^αn．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)得f′（x）=，從而可知x∈（，+∞）時(shí)f′（x）＞0，x∈（0，）時(shí)，f′（x）＜0．故可求f（x）的最小值；
（2）根據(jù)f（）≤f（），可得（）^α•（）^β≤（）^α•（）^β，從而得證；
（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n=2時(shí)，由（2）可知（）^α1+α2≤（）^α1•（）^α2，假設(shè)n=k時(shí)，成立，即（）^{α1+α2+…+αn}≤（）^α1•（）^α2…（）^αn，再證明當(dāng)n=k+1時(shí)也，成立．
解答：（1）解：f′（x）=α（1+x）^α-1（1+）^β+（1+x）^α•β（1+）^β-1•（-1）•=，
∵x∈（，∞）時(shí)f′（x）＞0，x∈（0，）時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）_max=f（）=（）^α（）^β．
（2）證：∵f（）≤f（），∴（）^α•（）^β≤（）^α•（）^β，
即（）^α+β≤（）^α•（）^β．
（3）當(dāng)n=2時(shí)，由（2）可知（）^α1+α2≤（）^α1•（）^α2，
設(shè)n=k時(shí)，（）^{α1+α2+…+αn}≤（）^α1•（）^α2…（）^αn，
當(dāng)n=k+1時(shí)，（）^{α1+α2+…+αn+αn+1}
=[]^{（α1+α2+…+αn）+αn+1}
≤（）^{α1+α2+…+αn}•（）^αn+1
≤（）^α1•（）^α2…（）^αn•（）^αn+1．
所以，結(jié)論對一切n成立．
點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)與不等式的綜合，考查數(shù)學(xué)歸納法，有一定的綜合性．