Question

下列幾個(gè)命題：①不等式

3

x-1

＜x+1的解集為{x|x＜-2，或x＞2}；②已知a，b均為正數(shù)，且

1

a

+

4

b

=1，則a+b的最小值為9；③已知x，y均為正數(shù)，且x+3y-2=0，則3^x+27^y+1的最小值為7；其中正確的有

 

．（以序號(hào)作答）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①不等式

3

x-1

＜x+1化為（x+2）（x-1）（x-2）＞0，利用“穿根法”解得x＞2或-2＜x＜1，即可判斷出；
②由于a，b均為正數(shù)，且

1

a

+

4

b

=1，變形為a+b=（a+b）(

1

a

+

4

b

)=5+

b

a

+

4a

b

，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出；
③由于x，y均為正數(shù)，且x+3y-2=0，利用基本不等式的性質(zhì)可得3^x+27^y+1≥2

3x•33y

+1，即可得出．

解答： 解：①不等式

3

x-1

＜x+1化為（x+2）（x-1）（x-2）＞0，解得x＞2或-2＜x＜1，因此解集為{x|-2＜x＜1，或x＞2}，故不正確；
②∵a，b均為正數(shù)，且

1

a

+

4

b

=1，∴a+b=（a+b）(

1

a

+

4

b

)=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a × 4a b

=9，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=6時(shí)取等號(hào)，因此最小值為9，正確；
③∵x，y均為正數(shù)，且x+3y-2=0，∴3^x+27^y+1≥2

3x•33y

+1=2

32

+1=7，當(dāng)且僅當(dāng)x=3y=1時(shí)取等號(hào)，因此其最小值為7，正確．
綜上可得：其中正確的有 ②③．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“穿根法”解不等式、基本不等式的性質(zhì)、簡易邏輯的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．