Question

10．已知O，F(xiàn)分別為雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的中心和右焦點(diǎn)，點(diǎn)G、M分別在E的漸近線和右支上，若$\overrightarrow{FG}$•$\overrightarrow{OG}$=0，GM∥x軸，|OM|=|OF|，則E的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用已知條件求出G與M的坐標(biāo)，通過(guò)|OM|=|OF|，轉(zhuǎn)化求解雙曲線的離心率即可．

解答 解：知O，F(xiàn)分別為雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的中心和右焦點(diǎn)，不妨點(diǎn)G、M分別在E的漸近線bx-ay=0和右支上，若$\overrightarrow{FG}$•$\overrightarrow{OG}$=0，
可得|FG|=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，則G的縱坐標(biāo)為：$\frac{ab}{c}$，
GM∥x軸，則M的縱坐標(biāo)為：$\frac{ab}{c}$，橫坐標(biāo)為：x，則x²=a²+$\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}$，
|OM|=|OF|，可得：a²+$\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}$=c²，b²=a²+c²，化簡(jiǎn)可得2a²=c²，
可得雙曲線的離心率為：$\sqrt{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．