Question

5．如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，四邊形OAEF為矩形，平面OAEF⊥平面ABCD，AB=AE．
（Ⅰ）求證：平面DEF⊥平面BDF；
（Ⅱ）若點(diǎn)H在線段BF上，且BF=3HF，求直線CH與平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明EF⊥平面BDF，即可證明平面DEF⊥平面BDF；
（Ⅱ）建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面DEF的法向量，即可求出直線CH與平面DEF所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：∵ABCD為正方形，∴AO⊥BD，
∵四邊形OAEF為矩形，∴AO⊥FO，EF∥AO，
∴EF⊥BD，EF⊥FO，
∵BD∩FO=O，
∴EF⊥平面BDF，
∵EF?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面BDF；
（Ⅱ）解：∵平面OAEF⊥平面ABCD，平面OAEF∩平面ABCD=OA，F(xiàn)O⊥AO，
∴FO⊥平面ABCD，
∴FO⊥AO，F(xiàn)O⊥BO．
建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)AB=AE=2，則O（0，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），C（-$\sqrt{2}$，0，0），D（0，-$\sqrt{2}$，0），E（$\sqrt{2}$，0，2），F(xiàn)（0，0，2），
∴$\overrightarrow{DE}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，2），$\overrightarrow{DF}$=（0，$\sqrt{2}$，2），$\overrightarrow{BF}$=（0，-$\sqrt{2}$，2），
∵BH=3HF，∴$\overrightarrow{CH}$=$\overrightarrow{CB}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{BF}$=（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\frac{4}{3}$），
設(shè)平面DEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+\sqrt{2}y+2z=0}\\{\sqrt{2}y+2z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（0，-$\sqrt{2}$，1），
∴直線CH與平面DEF所成角的正弦值=$\frac{-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}}{2×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的證明，考查線面角，考查向量知識的運(yùn)用，屬于中檔題．