Question

對于任意實數x，符號[x]表示x的整數部分，即[x]是不超過x的最大整數”．在實數軸R（箭頭向右）上[x]是在點x左側的第一個整數點，當x是整數時[x]就是x．這個函數[x]叫做“取整函數”，它在數學本身和生產實踐中有廣泛的應用．那么[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]=

8204

．

Answer 1

分析：根據題意可得，[log₂1]=0有1個0，[log₂2]=[log₂3]=1，有2個1，[log₂4]=[log₂5]=…=[log₂7]=2，有4個2
[log₂8]=[log₂9]=[log₂10]=…=[log₂15]=3，有8個3，[log₂1024]=10，則[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]=1×2+2×2²+3×2³+…+9×2⁹+10，令S=1×2+2×2²+…+9×2⁹，利用錯位相減可求S，進而可求

解答：解：根據題意可得，[log₂1]=0有1個0，[log₂2]=[log₂3]=1，有2個1，[log₂4]=[log₂5]=…=[log₂7]=2，有4個2
[log₂8]=[log₂9]=[log₂10]=…=[log₂15]=3，有8個3，[log₂1024]=10
所以，[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]
=0+1+1+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3+…+10
=1×2+2×2²+3×2³+…+9×2⁹+10
令S=1×2+2×2²+…+9×2⁹
2S=1×2²+2×2³+…+8×2⁹+9×2¹⁰
所以，-S=2+2²+…+2⁹-9×2¹⁰
=

2(1-29)

1-2

-9×210=  -2-8×210
所以，S=8×2¹⁰+2=8194
故答案為：8204

點評：本題以新定義取整函數為切入點，主要考查了歸納推理的應用，及數列求和的錯位相減的求和方法的應用，是一道構思巧妙的試題．