Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sinωxcosωx+

3

cos²ωx+a，（其中ω＞0，a∈R）．
（1）若函數(shù)g（x）=f（x）-

3

2

-a的圖象與直線y=1的相鄰的兩個公共點的距離為2，求ω的值；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標為

π

6

，且y=f（x）在區(qū)間[-

π

3

，

π

3

]上恰好有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換可得f（x）=sin（2ωx+

π

3

）+

3

2

+a，g（x）=sin（2ωx+

π

3

），依題意，可知g（x）的周期T=2，可求得ω的值；
（2）2ω×

π

6

+

π

3

=

π

2

⇒ω=

1

2

，于是f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

+a，由x∈[-

π

3

，

π

3

]⇒x+

π

3

∈[0，

2π

3

]，要使f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

+a在區(qū)間[-

π

3

，

π

3

]上恰好有兩個零點，
必須直線y=-a-

3

2

與曲線y=sin（x+

π

3

）（-

π

3

≤x≤

π

3

）有兩個交點，從而可求得a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinωxcosωx+

3

cos²ωx+a
=

1

2

sin2ωx+

3

2

（1+cos2ωx）+a=sin（2ωx+

π

3

）+

3

2

+a，
∴g（x）=f（x）-

3

2

-a=sin（2ωx+

π

3

），又g（x）=sin（2ωx+

π

3

）的圖象與直線y=1的相鄰的兩個公共點的距離為2，
∴T=

2π

2ω

=2，∴ω=

π

2

；
（2）∵2ω×

π

6

+

π

3

=

π

2

，
∴ω=

1

2

，
∴f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

+a，
∵x∈[-

π

3

，

π

3

]，∴x+

π

3

∈[0，

2π

3

]，
∴要使f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

+a在區(qū)間[-

π

3

，

π

3

]上恰好有兩個零點，
必須直線y=-a-

3

2

與曲線y=sin（x+

π

3

）（-

π

3

≤x≤

π

3

）有兩個交點，
∴

3

2

≤-a-

3

2

＜1，
解得：-1-

3

2

＜a≤-

3

，即a的取值范圍為（-1-

3

2

，-

3

]．

點評：本題考查三角恒等變換的應(yīng)用，考查二倍角的正弦與余弦，著重考查正弦函數(shù)的周期性、對稱性、閉區(qū)間上的單調(diào)性與最值的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力．