Question

已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)的面積最大時(shí)，求的方程.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由，結(jié)合條件，可得，再由離心率，，

故，即橢圓的方程為；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程并消去，可得，故若設(shè)設(shè)，則 ，則，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，因此，從而令，則 ，即問題等價(jià)于求關(guān)于的函數(shù)的最大值，根據(jù)基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，∴，故故當(dāng)， 即，時(shí)的面積最大，從而直線的方程為.

試題解析：（1）設(shè)，由題意，∴，又∵離心率，∴，

∴，過(guò)橢圓的方程為； . 4分

（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，方程為，

聯(lián)立直線與橢圓方程：，化簡(jiǎn)得：，

∵，∴，

設(shè)，則 ，

∴，

∴坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，，

令，則 ，

∵，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，∴，

故當(dāng)， 即，時(shí)的面積最大，

從而直線的方程為.. . 13分

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與橢圓相交綜合題.