Question

2．已知H是△ABC的垂心，B=60°，若$\overrightarrow{BH}•\overrightarrow{BC}$=6，則AC的最小值為$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，可得$|\overrightarrow{AB}|=2|\overrightarrow{BD}|$，展開(kāi)數(shù)量積$\overrightarrow{BH}•\overrightarrow{BC}$，結(jié)合向量在向量方向上的投影得到ac=12．運(yùn)用余弦定理后再利用基本不等式求最值．

解答 解：如圖，∵H是△ABC的垂心，且B=60°，
∴$|\overrightarrow{AB}|=2|\overrightarrow{BD}|$
∴$\overrightarrow{BH}•\overrightarrow{BC}$=$|\overrightarrow{BH}||\overrightarrow{BC}|cos∠CBH$
=$|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{BC}|$=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|=\frac{1}{2}ac=6$，
∴ac=12．
則b²=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac=12，
∴b_min=2$\sqrt{3}$，
即AC的最小值為2$\sqrt{3}$．
故答案為：$2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思想方法的運(yùn)用，是中檔題．