Question

7．設常數(shù)λ＞0，a＞0，函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{λ+x}$-alnx．當a=$\frac{3}{4}$λ時，若f（x）最小值為0，求λ的值．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，極值也為最值，解方程即可得到所求值．

解答 解：當a=$\frac{3}{4}$λ時，f（x=$\frac{{x}^{2}}{λ+x}$-$\frac{3λ}{4}$lnx，x＞0，
f（x）的導數(shù)為f′（x）=$\frac{2x（x+λ）-{x}^{2}}{（x+λ）^{2}}$-$\frac{3λ}{4x}$
=$\frac{（x-λ）（4{x}^{2}+9xλ+3{λ}^{2}）}{4x（x+λ）^{2}}$，
由x＞0，λ＞0，可得f′（x）=0，解得x=λ．
當x＞λ時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當0＜x＜λ時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=λ處取得極小值，且為最小值，
由題意可得f（λ）=0，
即有$\frac{λ}{2}$--$\frac{3λ}{4}$lnλ=0，
解得λ=${e}^{\frac{2}{3}}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．