Question

12．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，焦距為$2\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+2與橢圓交于C，D兩點．問是否存在常數k，使得以CD為直徑的圓過坐標原點O，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意求出橢圓的a，c的值，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，由判別式等于0求得k的范圍，再由向量數量積為0求得k值得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，2c=$2\sqrt{2}$，
∴$c=\sqrt{2}$，$a=\sqrt{3}$，則b²=a²-c²=1．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
△=（12k）²-36（1+3k²）=36k²-36＞0，得k＜-1或k＞1．
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-12k}{1+3{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{9}{1+3{k}^{2}}$，
${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}+2）（k{x}_{2}+2）={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}$+2k（x₁+x₂）+4．
若存在常數k，使得以CD為直徑的圓過坐標原點O，
則$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0．
即$（1+{k}^{2}）•\frac{9}{1+3{k}^{2}}+2k•\frac{-12k}{1+3{k}^{2}}+4=0$，
解得：k=$±\frac{\sqrt{39}}{3}$，滿足題意．
∴存在常數k=$±\frac{\sqrt{39}}{3}$，使得以CD為直徑的圓過坐標原點O．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與圓錐曲線位置關系的應用，訓練了由向量數量積為0判斷兩直線垂直的關系，是中檔題．