Question

19．某市因交通堵塞，在周一到周五進行交通限行，周一、周三、周五雙號限行，周二、周四單號限行．某單位有雙號車兩輛，單號車兩輛，在限行前，雙號車每輛車每天出車的概率為$\frac{2}{3}$，單號車每輛車每天出車的概率為$\frac{1}{2}$，且每輛車出車是相互獨立的．
（1）若該單位的某員工需要在周一和周二兩天中的一天用車，且這兩天用車的可能性相同，求他能出車的概率；
（2）設(shè)X表示該單位在周一與周二兩天的出車臺數(shù)之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)他能出車的事件為A，利用相互立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出他能出車的概率．
（Ⅱ）根據(jù)題意可得X的可能取值為0，1，2，3，4．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)他能出車的事件為A，
則$P（A）=\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}）+\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}×\frac{1}{3}）=\frac{59}{72}$．-----------（4分）
（Ⅱ）根據(jù)題意可得X的可能取值為0，1，2，3，4．
$P（X=0）=C_2^0{（\frac{1}{3}）^2}C_2^0{（\frac{1}{2}）^2}=\frac{1}{36}$，
$P（X=1）=C_2^1×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×C_2^0{（\frac{1}{2}）^2}+C_2^0{（\frac{1}{3}）^2}C_2^1{（\frac{1}{2}）^2}=\frac{6}{36}$，
$P（X=2）=C_2^2{（\frac{2}{3}）^2}C_2^0{（\frac{1}{2}）^2}+C_2^1×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×C_2^1{（\frac{1}{2}）^2}+C_2^0{（\frac{1}{3}）^2}C_2^2{（\frac{1}{2}）^2}=\frac{13}{36}$，
$P（X=3）=C_2^2{（\frac{2}{3}）^2}C_2^1{（\frac{1}{2}）^2}+C_2^1×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×C_2^2{（\frac{1}{2}）^2}=\frac{12}{36}$，
$P（X=4）=C_2^2{（\frac{2}{3}）^2}C_2^2{（\frac{1}{2}）^2}=\frac{4}{36}$．
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{12}{36}$	$\frac{4}{36}$

EX=$0×\frac{1}{36}+1×\frac{6}{36}+2×\frac{13}{36}+3×\frac{12}{36}+4×\frac{4}{36}$=$\frac{7}{3}$．---------（12分）．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式的合理運用．