Question

7．若數(shù)列{a_n}滿足：存在正整數(shù)T，對(duì)于任意正整數(shù)n都有a_n+T=a_n成立，則稱(chēng)數(shù)列{a_n}為周期數(shù)列，周期為T(mén)．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=m（m＞0），${a}_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-1，{a}_{n}＞1}\\{\frac{1}{{a}_{n}}，0＜{a}_{n}≤1}\end{array}\right.$，若a₃=4，則m的所有可能取值為（　�。�

• A． {6，$\frac{5}{4}$}
• B． {6，$\frac{5}{4}$，$\frac{2}{5}$}
• C． {6，$\frac{5}{4}$，$\frac{1}{5}$}
• D． {6，$\frac{1}{5}$}

Answer 1

分析 對(duì)m分類(lèi)討論，利用遞推關(guān)系即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足a₁=m（m＞0），${a}_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-1，{a}_{n}＞1}\\{\frac{1}{{a}_{n}}，0＜{a}_{n}≤1}\end{array}\right.$，a₃=4，
①若m＞2，則a₂=m-1＞1，∴a₃=m-2=4，解得m=6．
②若m=2，則a₂=m-1=1，∴a₃=$\frac{1}{{a}_{2}}$=1≠4，舍去．
③若1＜m＜2，則a₂=m-1∈（0，1），∴a₃=$\frac{1}{m-1}$=4，解得m=$\frac{5}{4}$．
④若m=1，則a₂=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，∴a₃=$\frac{1}{{a}_{2}}$≠4，舍去．
⑤若0＜m＜1，則a₂=$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{m}$＞1，∴a₃=a₂-1=$\frac{1}{m}$-1=4，解得m=$\frac{1}{5}$．
綜上可得：m∈$\{6，\frac{5}{4}，\frac{1}{5}\}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．