Question

3．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}等差數(shù)列；
（2）數(shù)列b_n=a_n•a_n+1，求數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）利用3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2），轉(zhuǎn)化為：$\frac{1}{an}$-$\frac{1}{an-1}$=3（n≥2）即可證明數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列．
（2）求出a_n，推出b_n，利用裂項(xiàng)法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）因?yàn)?a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2），
整數(shù)，得$\frac{1}{an}$-$\frac{1}{an-1}$=3（n≥2），…3
所以數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．…5
（2）由（1）可得$\frac{1}{an}$=1+3（n-1）=3n-2，
所以a_n=$\frac{1}{3n-2}$.${a_{n+1}}=\frac{1}{3n+1}$…7
${b_n}=\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$…9${s_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{3}[{（1-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）}]$
=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）=\frac{n}{3n+1}$…12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列求和，考查計(jì)算能力．