Question

6．已知f（x）是定義在R上奇函數(shù)，又f（2）=0，若x＞0時，xf′（x）+f（x）＞0，則不等式xf（x）＞0的解集是（-∞，-2）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 由題意設g（x）=xf（x）并求出g′（x），由條件和導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，判斷出g（x）在（0，+∞）上的單調性，由f（x）是奇函數(shù)判斷出g（x）是偶函數(shù)，根據(jù)條件、偶函數(shù)的性質、g（x）的單調性等價轉化不等式xf（x）＞0，即可求出不等式的解集．

解答 解：由題意設g（x）=xf（x），則g′（x）=xf′（x）+f（x），
∵x＞0時，xf′（x）+f（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∵f（x）是定義在R上奇函數(shù)，
∴g（x）是定義在R上偶函數(shù)，
又f（2）=0，則g（2）=2f（2）=0，
∴不等式xf（x）＞0為g（x）＞0=g（2），
等價于|x|＞2，解得x＜-2或x＞2，
∴不等式xf（x）＞0的解集是（-∞，-2）∪（2，+∞），
故答案為：（-∞，-2）∪（2，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的性質以及判斷，偶函數(shù)的單調性，以及導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，考查構造法，轉化思想，化簡、變形能力．