Question

12．已知{a_n}是等比數(shù)列，滿足a₁=3，a₄=24，數(shù)列{a_n+b_n}是首項(xiàng)為4，公差為1的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求得公差和公比，即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用分組求和的方法求解數(shù)列的和，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解數(shù)列的和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q．a(chǎn)₁=3，a₄=24
得q³=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$=8，q=2．
所以a_n=3•2^n-1． 
又?jǐn)?shù)列{a_n+b_n}是首項(xiàng)為4，公差為1的等差數(shù)列，
所以a_n+b_n=4+（n-1）=n+3．
從而b_n=n+3-3•2^n-1． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=n+3-3•2^n-1．
數(shù)列{n+3}的前n項(xiàng)和為$\frac{n（n+7）}{2}$．
數(shù)列{3•2^n-1}的前n項(xiàng)和為$\frac{3（1-{2}^{n}）}{1-2}$=3×2ⁿ-3．
所以，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為為$\frac{n（n+7）}{2}$-3×2ⁿ+3．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了利用分組求和的方法求解數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．