Question

18．已知函數(shù)f（x）=2e^x-x³e^x．
（1）求函數(shù)f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）證明：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＞$\frac{lnx}{x}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（0），f′（0）的值，求出切線方程即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為分別求出函數(shù)g（x）=2e^x-$\frac{lnx}{x}$的取值范圍和h（x）=x³e^x的范圍，進(jìn)行比較即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（2-3x²-x³），
f（0）=2，f′（0）=2，
故切線方程是：y-2=2x，
即2x-y+2=0；
（2）證明：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，2e^x∈（2，2e），$\frac{lnx}{x}$＜0，則-$\frac{lnx}{x}$＞0，
則令g（x）=2e^x-$\frac{lnx}{x}$，故g（x）＞2，
設(shè)h（x）=x³e^x．
則h′（x）=3x²e^x+x³e^x=x²e^x（3+x），
當(dāng)x∈（0，1），則h′（x）＞0，即h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
則0＜h（x）＜e，
故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞h（x），
故f（x）＞$\frac{lnx}{x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及不等式的證明，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．