Question

16．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$兩個(gè)焦點(diǎn)為分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），過點(diǎn)F₂的直線l與該雙曲線的右支交于M，N兩點(diǎn)，且△F₁MN是以N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則a²為（　�。�

• A． $\frac{{5-\sqrt{2}}}{17}$
• B． $\frac{{5+\sqrt{2}}}{17}$
• C． $\frac{{5-2\sqrt{2}}}{17}$
• D． $\frac{{5+2\sqrt{2}}}{17}$

Answer 1

分析 設(shè)|AF₁|=|AB|=m，計(jì)算出|AF₂|=（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）m，再利用勾股定理，即可建立a，c的關(guān)系，從而求出e²的值，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，設(shè)|MF₁|=|MN|=m，
則|NF₁|=$\sqrt{2}$m，|MF₂|=m-2a，|NF₂|=$\sqrt{2}$m-2a，
∵|MN|=|MF₂|+|NF₂|=m，
∴m-2a+$\sqrt{2}$m-2a=m，
∴4a=$\sqrt{2}$m，
∴|MF₂|=（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）m，
∵△MF₁F₂為Rt三角形，
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²
∴4c²=（$\frac{5}{2}$-$\sqrt{2}$）m²，
∵4a=$\sqrt{2}$m，
∴4c²=（$\frac{5}{2}$-$\sqrt{2}$）×8a²，
∴e²=5-2$\sqrt{2}$．
∵c=1，
∴a²=$\frac{5+2\sqrt{2}}{17}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查雙曲線的定義，解題的關(guān)鍵是確定|MF₂|，從而利用勾股定理求解．