Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常數(shù)，a∈R．
（1）討論a=1時(shí)，f（x）的單調(diào)性、極值；
（2）設(shè)g（x）=x²-x+3b²-2b．當(dāng)a=1時(shí)，若對(duì)任意x₁∈（0，e]，存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求b的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）可求，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值關(guān)系可求答案；
（2）任意x₁∈（0，e]，存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），等價(jià)于f（x₁）_min≥g（x₂）_min． 從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題解決；
（3）先假設(shè)存在這樣的a值，然后求函數(shù)f（x）的最小值，令最小值為3，解出即可；

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)f（x）=x-lnx，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

．
所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)1＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增．
所以f（x）的極小值為f（1）=1．                       
（2）若對(duì)任意x₁∈（0，e]，存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），等價(jià)于f（x₁）_min≥g（x₂）_min．                                     
由（1）知當(dāng)x₁∈（0，e]時(shí)，f（x₁）有極小值為1，即當(dāng)x₁∈（0，e]時(shí)，f（x₁）_min=1，
因?yàn)間（x）=x²-x+3b²-2b的對(duì)稱軸為x=

1

2

，
所以g（x）=x²-x+3b²-2b在x₂∈[1，2]上單調(diào)遞增，其最小值為g（1）=3b²-2b，
所以有3b²-2b≤1，解得-

1

3

≤b≤1．             
故b的取值范圍為[-

1

3

，1]．                      
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

．
①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），所以，此時(shí)f（x）無(wú)最小值．
②當(dāng)0＜

1

a

＜e時(shí)，f（x）在（0，

1

a

）上單調(diào)遞減，在（

1

a

，e]上單調(diào)遞增，f(x)min=f(

1

a

)=1+lna=3，a=e²，滿足條件．
③當(dāng)

1

a

≥e時(shí)，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
所以，此時(shí)f（x）無(wú)最小值．
綜上，存在實(shí)數(shù)a=e²，使得當(dāng)x∈（0，e]時(shí)f（x）有最小值3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問(wèn)題，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，本題中滲透了分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，對(duì)于恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題解決．