3.已知曲線C在y軸右邊,C上的每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離多1.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)已知過點(diǎn)M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C有兩交點(diǎn)A,B,若$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$<0恒成立,求m的取值范圍.

分析 (Ⅰ)依題意:曲線C上的任意點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離等于到直線x=-1的距離,由此能求出曲線C的方程.
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)M(m,0),(m>0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),設(shè)l的方程為x=ty+m,與拋物線方程聯(lián)立,得y2-4ty-4m=0,利用$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$<0恒成立,由此能求出m的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)依題意:曲線C上的任意點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離等于到直線x=-1的距離,
∴曲線C的方程是y2=4x,x>0.
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)M(m,0),(m>0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),
設(shè)l的方程為x=ty+m,
與拋物線方程聯(lián)立,得y2-4ty-4m=0,
△=16t2+16m>0,y1+y2=4t,y1y2=-4m,①
又$\overrightarrow{FA}$=(x1-1,y1),$\overrightarrow{FB}$=(x2-1,y2),
∵$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$<0,∴(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0,②
等價(jià)于$\frac{1}{16}$(y1y2)+2y1y2-$\frac{1}{4}$[(y1+y22-2y1y2]+1<0
由①式,m2-6m+1-4t2<0,
∵4t2≥0
∴只需m2-6m+1<0即可.
即:3-2$\sqrt{2}$<m<3+2$\sqrt{2}$,
∴所求m的取值范圍為3-2$\sqrt{2}$<m<3+2$\sqrt{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線方程的求法,考查滿足條件的實(shí)數(shù)是否存在的判斷,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)方程思想的合理運(yùn)用.

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