Question

【題目】已知集合，對(duì)于的一個(gè)子集，若存在不大于的正整數(shù)，使得對(duì)中的任意一對(duì)元素、，都有，則稱具有性質(zhì).

（1）當(dāng)時(shí)，試判斷集合和是否具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)時(shí)，若集合具有性質(zhì).

①那么集合是否一定具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由；

②求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析；（2）①具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析；②.

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，集合，，根據(jù)性質(zhì)的定義可知其不具有性質(zhì)；，令，利用性質(zhì)的定義即可驗(yàn)證；

（2）當(dāng)，則.

①根據(jù)，任取，其中，可得，利用性質(zhì)的定義加以驗(yàn)證即可說(shuō)明集合具有性質(zhì)；

②設(shè)集合有個(gè)元素，由①可知，任給，，則與中必有個(gè)不超過(guò)，從而得到集合與中必有一個(gè)集合中至少存在一半元素不超過(guò)，然后利用性質(zhì)的定義進(jìn)行分析即可求得，即，解此不等式得.

（1）當(dāng)時(shí)，集合，不具有性質(zhì).

因?yàn)閷?duì)任意不大于的正整數(shù)，

都可以找到該集合中的兩個(gè)元素與，使得成立.

集合具有性質(zhì).

因?yàn)榭扇?/span>，對(duì)于該集合中任一元素，，、.

都有；

（2）當(dāng)時(shí)，則.

①若集合具有性質(zhì)，那么集合一定具有性質(zhì).

首先因?yàn)?/span>，任取，其中.

因?yàn)?/span>，所以.

從而，即，所以.

由具有性質(zhì)，可知存在不大于的正整數(shù)，

使得對(duì)中的任意一對(duì)元素、，都有.

對(duì)于上述正整數(shù)，從集合中任取一對(duì)元素，，其中、，則有.

所以，集合具有性質(zhì)；

②設(shè)集合有個(gè)元素，由①可知，若集合具有性質(zhì)，那么集合一定具有性質(zhì).

任給，，則與中必有一個(gè)不超過(guò).

所以集合與中必有一個(gè)集合中至少存在一半元素不超過(guò).

不妨設(shè)中有個(gè)元素、、、不超過(guò).

由集合具有性質(zhì)，可知存在正整數(shù).

使得對(duì)中任意兩個(gè)元素、，都有.

所以一定有、、、.

又，故、、、.

即集合中至少有個(gè)元素不在子集中，

因此，所以，得.

當(dāng)時(shí)，取，則易知對(duì)集合中的任意兩個(gè)元素、，都有，即集合具有性質(zhì).

而此時(shí)集合中有個(gè)元素，因此，集合元素個(gè)數(shù)的最大值為.