【題目】某校高三共有900名學(xué)生,高三模擬考之后,為了了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況,用分層抽樣方法從中抽出若干學(xué)生此次數(shù)學(xué)成績,按成績分組,制成如下的頻率分布表:
組號(hào) | 第一組 | 第二組 | 第二組 | 第四組 |
分組 | [70,80) | [80,90) | [90,100) | [100,110) |
頻數(shù) | 6 | 4 | 22 | 20 |
頻率 | 0.06 | 0.04 | 0.22 | 0.20 |
組號(hào) | 第五組 | 第六組 | 第七組 | 第八組 |
分組 | [110,120) | [120,130) | [130,140) | [140,150] |
頻數(shù) | 18 | a | 10 | 5 |
頻率 | b | 0.15 | 0.10 | 0.05 |
(1)若頻數(shù)的總和為c,試求a,b,c的值;
(2)為了了解數(shù)學(xué)成績?cè)?20分以上的學(xué)生的心理狀態(tài),現(xiàn)決定在第六、七、八組中用分層抽樣方法抽取6名學(xué)生,在這6名學(xué)生中又再隨機(jī)抽取2名與心理老師面談,令第七組被抽中的學(xué)生數(shù)為隨機(jī)變量ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)估計(jì)該校本次考試的數(shù)學(xué)平均分.
【答案】
(1)解:因?yàn)轭l率和為1,所以b=0.18,
又因?yàn)轭l率= ,所以c=100,a=15.
(2)解:第六、七、八組共有30個(gè)樣本,用分層抽樣方法抽取6名學(xué)生,則每個(gè)學(xué)生被抽中的概率均為 .
所以從第七組中抽取的樣本數(shù)為 ×10=2.
所以隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2.
P(ξ=0)= = ,
P(ξ=1)= = ,
P(ξ=2)= = .
∴隨機(jī)變量ξ的分布列為
ξ | 0 | 1 | 2 |
P |
|
|
|
所以E(ξ)=0× +1× +2× = .
(3)解:根據(jù)頻率分布表估計(jì)該校本次考試的數(shù)學(xué)平均分為:
75×0.06+85×0.04+95×0.22+105×0.2+115×0.18+125×0.15+135×0.1+145×0.05=110.
【解析】(1)由頻率= ,能求出a,b,c的值.(2)第六、七、八組共有30個(gè)樣本,用分層抽樣方法抽取6名學(xué)生,則每個(gè)學(xué)生被抽中的概率均為 .從第七組中抽取的樣本數(shù)為 ×10=2.從而隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2.分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和E(ξ).(3)根據(jù)頻率分布表能估計(jì)該校本次考試的數(shù)學(xué)平均分.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的相關(guān)知識(shí),掌握⑴平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量;⑵平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都有單位;⑶平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的平均水平,與這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都有關(guān)系,所以最為重要,應(yīng)用最廣;⑷中位數(shù)不受個(gè)別偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響;⑸眾數(shù)與各組數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)有關(guān),不受個(gè)別數(shù)據(jù)的影響,有時(shí)是我們最為關(guān)心的數(shù)據(jù),以及對(duì)離散型隨機(jī)變量及其分布列的理解,了解在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中,對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量的分布列:一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布,簡稱分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}是公比為q(q>1)的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn . 已知S3=7,且3a2是a1+3與a3+4的等差數(shù)列. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(Ⅱ)設(shè)bn= ,cn=bn(bn+1﹣bn+2),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】集合M的若干個(gè)子集的集合稱為集合M的一個(gè)子集族.對(duì)于集合{1,2,3…n}的一個(gè)子集族D滿足如下條件:若A∈D,BA,則B∈D,則稱子集族D是“向下封閉”的. (Ⅰ)寫出一個(gè)含有集合{1,2}的“向下封閉”的子集族D并計(jì)算此時(shí) 的值(其中|A|表示集合A中元素的個(gè)數(shù),約定||=0; 表示對(duì)子集族D中所有成員A求和);
(Ⅱ)D是集合{1,2,3…n}的任一“向下封閉的”子集族,對(duì)A∈D,記k=max|A|, (其中max表示最大值),
(。┣骹(2);
(ⅱ)若k是偶數(shù),求f(k).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和Sn=﹣3n2 , {bn}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列,b1b2b3=512,a1+b1=a3+b3 .
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng);
(2)若cn= ,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn , 求證: <1.
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【題目】設(shè)f(x)=|ax﹣1|. (Ⅰ)若f(x)≤2的解集為[﹣6,2],求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)當(dāng)a=2時(shí),若存在x∈R,使得不等式f(2x+1)﹣f(x﹣1)≤7﹣3m成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線C以F1(﹣2,0)、F2(2,0)為焦點(diǎn),且過點(diǎn)P(7,12).
(1)求雙曲線C與其漸近線的方程;
(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C相交于A,B兩點(diǎn),且 (O為坐標(biāo)原點(diǎn)).求直線l的方程.
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【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,外接圓半徑為1,且 = ,則△ABC面積的最大值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)h(x)=ax3﹣1(a∈R),g(x)=lnx,f(x)=h(x)+3xg(x)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(I)若f(x)圖象過點(diǎn)(1,﹣1),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若f(x)在區(qū)間( ,e)上有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(III)函數(shù)F(x)=(a﹣ )x3+ x2g(a)﹣h(x)﹣1,當(dāng)a>e 時(shí),函數(shù)F(x)過點(diǎn)A(1,m)的切線至少有2條,求實(shí)數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)F1 , F2是橢圓 (0<b<2)的左、右焦點(diǎn),過F1的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),若|AF2|+|BF2|最大值為5,則橢圓的離心率為( )
A.
B.
C.
D.
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