Question

19．如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABFE是平行四邊形，DF∥BC，BC=BF=2DF=2$\sqrt{2}$，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)E在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)O．
（1）證明：ED⊥平面EBC；
（2）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AO，DO，EO，利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明：AO⊥平面EBC，利用四邊形ABFE是平行四邊形，證明ED∥AO，即可證明ED⊥平面EBC；
（2）利用V=V_E-ABC+V_E-BCDF求多面體ABCDEF的體積．

解答 （1）證明：連接AO，DO，EO，則
∵AB=AC，O為BC的中點(diǎn)，
∴AO⊥BC，
∵點(diǎn)E在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)O，
∴EO⊥平面ABC，
∵AO?平面ABC，∴EO⊥AO，
∵EO∩BC=O，AO⊥BC，EO⊥AO，
∴AO⊥平面EBC．
∵BC=2DF，O為BC的中點(diǎn)，
∴DF=BO
∵DF∥BC，
∴四邊形DFBO是平行四邊形，
∴BF∥DO，BF=DO
∵四邊形ABFE是平行四邊形，
∴BF∥AE，BF=AE，
∴BF∥DO，BF=DO，
∴四邊形AEDO是平行四邊形，
∴ED∥AO，AO⊥平面EBC，
∴ED⊥平面EBC；
（2）解：∵BC=2$\sqrt{2}$，∠BAC=90°，AB=AC，
∴AO=2，
∴DE=2．
∵DO=FB=2$\sqrt{2}$，
∴EO=2．
取DO的中點(diǎn)M，則EM⊥DO．
由（1）可知BO⊥平面EDO，∴BO⊥EM，
∵DO∩BO=O，
∴EM⊥平面DCDF，且EM=$\sqrt{2}$．
∴多面體ABCDEF的體積V=V_E-ABC+V_E-BCDF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}×2$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（\sqrt{2}+2\sqrt{2}）×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面垂直的判定，考查多面體ABCDEF的體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．