Question

【題目】如圖，的邊邊所在直線的方程為 滿足,點在邊所在直線上且滿足．

（I）求邊所在直線的方程；

（II）求的外接圓的方程；

（III）若點的坐標為,其中為正整數(shù)。試討論在的外接圓上是否存在點使得成立？說明理由.

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）詳見解析.

【解析】

（I）由又在上且，得AC⊥AB，結(jié)合T點坐標及直線AB的斜率，可求出AC邊所在直線的方程；（II）結(jié)合（I）中結(jié)論，直線AB,AC的方程聯(lián)立，得點A；由B、C兩點關(guān)于M點對稱，得△ABC的外接圓是以M為圓心，以AM為半徑的圓；（III）若在△ABC的外接圓上存在點P，使得|PN|＝|PT|成立，則P為線段NT的垂直平分線L與圓M的公共點．所以當L與圓M相離時，不存在點P；當L與圓M相交或相切時則存在點P．設(shè)N點坐標，點N到直線距離d與半徑r=比較，即可得到結(jié)論．

解: （I）

∴，又在上 ∴，為,

又邊所在直線的方程為，，所以直線的斜率為．

又因為點在直線上，

所以邊所在直線的方程為．即．

（II）與的交點為，所以由解得點的坐標為，

∵∴

∴為斜邊上的中點。即為外接圓的圓心

又．

從外接圓的方程為: ．

（III）由，,知的斜率為，線段的中點為

線段的垂直平分線為 即

圓的圓心到直線的距離為

i)當時，，而，由,此時直線L與圓M相交，存在滿足條件的點P.

ii)當時，此時直線與圓相交，存在滿足條件的點P.

iii)當時，

∴，此時直線與圓相離，不存在滿足條件的點.

綜上：當n=1或2時，存在點P，當n時，不存在點P.