Question

如圖，四邊形ABCD與四邊形ADMN都為正方形，AN⊥AB，F(xiàn)為線段BN的中點，E為線段BC上的動點．
（1）當(dāng)E為線段BC中點，求證：NC∥平面AEF；
（2）求證：平面AEF⊥平面BCMN；
（3）求平面AMF與平面ABCD所成（銳二面角）角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得EF∥NC，由此能證明NC∥平面AEF．
（2）由已知得AD⊥NA，AD⊥AB，從而AD⊥平面NAB，進而BC⊥AF，又AF⊥NB，從而AF⊥平面BCMN，由此能證明平面AEF⊥平面BCMN．
（3）由DA，DC，DM兩兩垂直，以D為原點，建立空間直角系，求出平面AMF的法向量和平面ABCD的法向量，由此利用向量法能求出平面AMF與平面ABCD所成（銳二面角）角的余弦值．

解答： （1）證明：∵F為線段BN的中點，E為線段BC上的中點，
∴EF∥NC，又NC?平面AEF，EF?平面AEF，
∴NC∥平面AEF．
（2）證明：∵四邊形ABCD與四邊形ADMN都是正方形，
∴AD⊥NA，AD⊥AB，
NA∩AB=A，∴AD⊥平面NAB，
又AF?NAB，∴AD⊥AF，AD∥BC，∴BC⊥AF，
又AD∥BC，∴BC⊥AF，
由題意NA=AB，F(xiàn)為線段NB的中點，
∴AF⊥NB，NB∩BC=B，∴AF⊥平面BCMN，
又AF?平面AEF，∴平面AEF⊥平面BCMN．
（3）解：由題設(shè)知AN⊥AD，AN∥DM，DC⊥AD，
又AN⊥AB，AB∩AD=A，∴AN⊥平面ABCD，MD⊥平面ABCD，
∴DA，DC，DM兩兩垂直，
故以D為原點，建立空間直角系，
設(shè)AB=2，平面AMF的法向量為

n

=（x，y，z），
則A（2，0，0），M（0，0，2），F(xiàn)（2，1，1），
∴

AM

=(-2，0，2)，

AF

=（0，1，1），
由

n • AM =-2x+2z=0 n • AF =y+z=0

，取z=1，得

n

=（1，-1，1），
由題意平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

3

=

3

3

，
∴平面AMF與平面ABCD所成（銳二面角）角的余弦值為

3

3

．

點評：本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到線面以及面面的垂直關(guān)系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用．本小題對考生的空間想象能力與運算求解能力有較高要求．