Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意正整數(shù)n都有a_n是n與S_n的等差中項(xiàng)，b_n=a_n+1．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)b_n；
（2）若數(shù)列{C_n}滿足C_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}_{n}}$且數(shù)列{C${\;}_{n}^{2}$}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，證明T_n＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n是n與S_n的等差中項(xiàng)，2a_n=n+S_n，當(dāng)n≥2，2a_n-1=n-1+S_n-1，相減得：2a_n-2a_n-1=1+a_n，化簡(jiǎn)整理得：a_n+1=2（a_n-1+1），b_n=2b_n-1，b₁=2，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）數(shù)列{C_n}滿足C_n=$\frac{1}{n}$，C${\;}_{n}^{2}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，分類當(dāng)n=1，${C}_{1}^{2}$=1＜2命題成立，當(dāng)n≥2時(shí)，${1}^{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$＜1+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-1）×n}$，采用裂項(xiàng)法，求得T_n=2-$\frac{1}{n}$＜2，命題成立．

解答 證明：（Ⅰ）∵a_n是n與的等差中項(xiàng)，
2a_n=n+S_n，
∴2a_n-1=n-1+S_n-1，（n≥2），
兩式相減得：2a_n-2a_n-1=1+a_n，
a_n=2a_n-1+1，（n≥2），
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∴b_n=2b_n-1，
$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=2，當(dāng)n=1，2a₁=1+S₁，
∴a₁=1，b₁=2，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
b_n=2ⁿ，
（Ⅱ）數(shù)列{C_n}滿足C_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，
∴C${\;}_{n}^{2}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，
當(dāng)n=1時(shí)，T₁=${C}_{1}^{2}$=1＜2，命題成立，
當(dāng)n≥2，${T}_{n}={C}_{1}^{2}+{C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{2}+…+{C}_{n}^{2}$，
${1}^{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$＜1+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-1）×n}$，
=1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
=2-$\frac{1}{n}$＜2，命題成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求等比數(shù)列通項(xiàng)公式，及采用裂項(xiàng)法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．