Question

9．已知M（x₀，y₀）是曲線C：$\frac{{x}^{2}}{2}$-y=0上的一點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，若$\overrightarrow{MF}$$•\overrightarrow{MN}$＜0，則x₀的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，0）∪（0，1）
• B． （-1，0）
• C． （0，1）
• D． （-1，1）

Answer 1

分析 由題意可設(shè)M（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$），（x₀≠0），求得N的坐標(biāo)，求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：由題意可設(shè)M（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$），（x₀≠0），
由題意可得N（x₀，0），
又拋物線x²=2y的焦點(diǎn)F（0，$\frac{1}{2}$），
即有$\overrightarrow{MF}$=（-x₀，$\frac{1}{2}$-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$），$\overrightarrow{MN}$=（0，-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$），
由$\overrightarrow{MF}$$•\overrightarrow{MN}$＜0，即為（$\frac{1}{2}$-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$）•（-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$）＜0，
即有x₀²＜1且x₀≠0），
解得-1＜x₀＜0且0＜x₀＜1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．