Question

（本小題滿分12分）
已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)是圓的圓心，圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)是圓上任意一點(diǎn).
（Ⅰ）求圓的方程；
（Ⅱ）若直線與直線交于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求直線被圓所截得的弦長(zhǎng)；
（Ⅲ）在平面上是否存在定點(diǎn)，使得對(duì)圓上任意的點(diǎn)有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）由雙曲線E：，得：，，． …2分
又圓C過(guò)原點(diǎn)，所以圓C的方程為． …………………………3分
（Ⅱ）由題意，設(shè)，代入，得，……………4分
所以的斜率為，的方程為． ………………5分
所以到的距離為，
直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為．
故直線被圓C截得弦長(zhǎng)為7． ……………………………………………………7分
（Ⅲ）設(shè)，，則由，得，
整理得．①……………………9分學(xué)
又在圓C上，所以．②
②代入①，得．   ………………………10分
又由為圓C 上任意一點(diǎn)可知，，解得．
所以在平面上存在一點(diǎn)P，其坐標(biāo)為．       …………………………12分

略