Question

9．如圖，在△ABC中，$cos\frac{1}{2}∠ABC=\frac{{\sqrt{6}}}{3}，AB=2$，點(diǎn)D在線段AC上，且AD=2DC，BD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，則cosC=$\frac{7}{9}$．則三角形ABC的面積為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 在△ABC中，$cos\frac{1}{2}∠ABC=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，由半角公式可得cosB=$\frac{1}{3}$，在△ABC，和ABD，BDC中利用余弦定理關(guān)系，求解邊長BC和AC．可得cosC和三角形ABC的面積

解答 解：在△ABC中，$cos\frac{1}{2}∠ABC=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，由半角公式可得cosB=$\frac{1}{3}$，
在△ABC中，設(shè)BC=a，AC=3b，則由余弦定理可得cos∠ADB=$\frac{4^{2}+\frac{16}{3}-4}{4b×\frac{4\sqrt{3}}{3}}$
cos∠CDB=$\frac{^{2}+\frac{16}{3}-{a}^{2}}{2b×\frac{4\sqrt{3}}{3}}$
∵∠ADB與∠CDB互補(bǔ)，
∴cos∠ADB=-cos∠CDB，
∴$\frac{4^{2}+\frac{16}{3}-4}{4b×\frac{4\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{^{2}+\frac{16}{3}-{a}^{2}}{2b×\frac{4\sqrt{3}}{3}}$…①
由cosB=$\frac{1}{3}$=$\frac{4+{a}^{2}-9^{2}}{8a}$…②
由①②解得a=3，b=1，
BC=3，AC=3，
那么cosC=$\frac{B{C}^{2}+A{C}^{2}-A{B}^{2}}{2BC•AC}$=$\frac{18-4}{18}=\frac{7}{9}$．
則sinC=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴三角形ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$BC•ACsinC=2$\sqrt{2}$．
故答案為：$\frac{7}{9}$，2$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形中余弦定理的靈活應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想，以及化簡計(jì)算能力．屬于中檔題．