Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx cosωx-sin²ωx+1（ω＞0）相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求ω的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）已知a，b，c分別為△ABC中角A，B，C的對邊，且滿足a=$\sqrt{3}$，f（A）=1，求△ABC 面積 S 的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用倍角公式降冪，再由輔助角公式化簡，結(jié)合已知求得ω，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）由f（A）=1求得A，再由余弦定理結(jié)合基本不等式求得bc的最大值，則△ABC 面積 S 的最大值可求．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\sqrt{3}$sinωx cosωx-sin²ωx+1=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx$$-\frac{1-cos2ωx}{2}+1$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+\frac{1}{2}cos2ωx+\frac{1}{2}$=$sin（2ωx+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$．
∵相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，∴$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，則T=π=$\frac{2π}{2ω}$，則ω=1．
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ$，k∈Z．
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ$]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（A）=1，得sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，即sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}$），∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，則A=$\frac{π}{3}$．
由a²=b²+c²-2bccosA，得$3=^{2}+{c}^{2}-2bc×\frac{1}{2}=^{2}+{c}^{2}-bc$，
則bc≤3，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)“=”成立．
∴$（{S}_{△ABC}）_{max}=\frac{1}{2}bc•sinA=\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了三角形的解法，是中檔題．