Question

18．已知方程mx²+（m-4）y²=2m+2表示焦點在x軸上的雙曲線．
（1）求m的取值范圍；
（2）當m=2時，直線y=kx+2與雙曲線右支交于不同的兩點A、B，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把方程化為$\frac{m}{2m+2}$x²+$\frac{m-4}{2m+2}$y²=1，令$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{2m+2}＞0}\\{\frac{m-4}{2m+2}＜0}\end{array}\right.$，求出m的取值范圍即可；
（2）m=2時方程化為x²-y²=3，與直線方程聯(lián)立消去y，得（1-k²）x²-4kx-7=0，則該方程有兩個不相等的正實數(shù)根即可．

解答 解：（1）方程mx²+（m-4）y²=2m+2表示焦點在x軸上的雙曲線，
∴2m+2≠0，即m≠-1，
∴方程化為$\frac{m}{2m+2}$x²+$\frac{m-4}{2m+2}$y²=1，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{2m+2}＞0}\\{\frac{m-4}{2m+2}＜0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m＜-1或m＞0}\\{-1＜m＜4}\end{array}\right.$，
即0＜m＜4；
（2）當m=2時，方程mx²+（m-4）y²=2m+2化為x²-y²=3，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{-y}^{2}=3}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，消去y，得（1-k²）x²-4kx-7=0；
則1-k²≠0①，
△=16k²+28（1-k²）＞0②，
$\frac{4k}{1{-k}^{2}}$＞0③，
$\frac{-7}{1{-k}^{2}}$＞0④；
由①②③④組成不等式組，解得：
-$\frac{\sqrt{21}}{3}$＜k＜-1，
所以直線y=kx+2與雙曲線右支交于不同的兩點A、B時，
k的取值范圍是-$\frac{\sqrt{21}}{3}$＜k＜-1．

點評 本題考查了雙曲線的定義與性質的應用問題，也考查了直線與二次方程的應用問題，是綜合性題目．