Question

2．已知向量：$\overrightarrow{a}$=（cosα，2sinα），$\overrightarrow$=（2cosβ，-sinβ），α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-$\frac{10}{13}$，求cos（α+β）的值；
（2）若$\overrightarrow{c}$=（0，1），求|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩角和的余弦公式，計(jì)算即可得到所求值；
（2）運(yùn)用向量的模的公式，結(jié)合同角的平方關(guān)系和配方法，由正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（cosα，2sinα），$\overrightarrow$=（2cosβ，-sinβ），α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2cosαcosβ-2sinαsinβ=2cos（α+β）=-$\frac{10}{13}$，
解得cos（α+β）=-$\frac{5}{13}$；
（2）由$\overrightarrow{a}$=（cosα，2sinα），$\overrightarrow{c}$=（0，1），
可得|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{co{s}^{2}α+（1-2sinα）^{2}}$
=$\sqrt{co{s}^{2}α+1-4sinα+4si{n}^{2}α}$=$\sqrt{3si{n}^{2}α-4sinα+2}$
=$\sqrt{3（sinα-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{2}{3}}$，
由α∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得sinα∈[0，1]，
當(dāng)sinα=$\frac{2}{3}$時，取得最小值$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
當(dāng)α=0時，|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{2}$；當(dāng)α=$\frac{π}{2}$時，|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$|=1．
則|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$|的最大值為$\sqrt{2}$．
即有|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$|的取值范圍是[$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量的模的求法，考查三角函數(shù)的恒等變換和求值，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．