Question

10．已知數(shù)列{a_n}中，S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n．
（1）求{a_n}的a_n；
（2）求T=$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，計(jì)算即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)即可得到所求和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1；
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{2}$（n-1）²-$\frac{1}{2}$（n-1）=n．
顯然，當(dāng)n=1時(shí)，也適合上式，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=1+n-1=n；
（2）由$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
可得T=$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．