Question

15．在△ABC中，a²=b²+c，acosB=4bcosA，則c=$\frac{5}{3}$，；若a=3，則△ABC是銳角三角形．

Answer 1

分析 由a²=b²+c⇒a²-b²=c，acosB=4bcosA，利用余弦定理可轉(zhuǎn)化為a²-b²=$\frac{3{c}^{2}}{5}$，聯(lián)立可求c的值，利用余弦定理即可判斷三角形的形狀．

解答 解：∵acosB=4bcosA，
由余弦定理可得a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=4b•$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，整理可得：a²-b²=$\frac{3{c}^{2}}{5}$，
又∵a²=b²+c，可得：a²-b²=c，
聯(lián)立可得$\frac{3{c}^{2}}{5}$=c，
∵c＞0，
∴c=$\frac{5}{3}$，
若a=3，則b²=a²-c=9-$\frac{5}{3}$=$\frac{22}{3}$，a²=9，c²=$\frac{25}{9}$，
∵由a²+b²＞c²，b²+c²＞a²，a²+c²＞b²，
∴由余弦定理可得△ABC是銳角三角形．
故答案為：$\frac{5}{3}$，銳角．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)試題，難度不大，要求熟練掌握公式．