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設α∈（0，
π
2
），則
sin3α
cosα
+
cos3α
sinα
的最小值為
 
．
考點：三角函數的最值
專題：導數的綜合應用,三角函數的求值
分析：令f（α）=
sin3α
cosα
+
cos3α
sinα
，利用同角三角函數間的關系及二倍角的正弦，化簡得：f（α）=
2
sin2α
-sin2α，利用導數法可求得α=
π
4
時，f（α）取得極小值，也是最小值，從而可得答案．
解答： 解：∵f（α）=
sin3α
cosα
+
cos3α
sinα
=
sin4α+cos4α
sinαcosα
=
(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α
sinαcosα
=
2
sin2α
-sin2α，
∴f′（α）=-2（sin2α）-2•2cos2α-2cos2α=2cos2α（-
2
sin22α
-1），
∴當α∈（0，
π
4
）時，cos2α＞0，f′（α）＜0，f（α）=
sin3α
cosα
+
cos3α
sinα
在（0，
π
4
）內單調遞減；
當α∈（
π
4
，
π
2
）時，cos2α＜0，f′（α）＞0，f（α）=
sin3α
cosα
+
cos3α
sinα
在（
π
4
，
π
2
）內單調遞增；
∴α=
π
4
時，f（α）取得極小值，也是最小值，
即f（α）min=f（
π
4
）=
2
sin(2×
π
4
)
-sin（2×
π
4
）=2-1=1．
故答案為：1．
點評：本題考查三角函數的最值，考查同角三角函數間的關系及二倍角的正弦，考查導數法求函數的極值，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2+1
+
y2
a2
=1（a＞0）的離心率為
1
2
，過點（a2+1，0）且斜率為k（k≠0）的動直線l與橢圓相交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點，點P關于x軸的對稱點為P′，線段PQ的中點為M（x0，y0）．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）證明：直線P′Q過x軸上一定點，并求該定點的坐標；
（Ⅲ）若點M落在橢圓3x2+y2=3的上頂點和左右頂點組成的三角形內部（不包括邊界），求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知x=
9
1
n
-9-
1
n
2
，n∈N*，求（x-
1+x2
）n的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設x=
1
3
+2
2
，y=3-
2
，集合M={m|m=a+b
2
，a∈Q，b∈Q}，那么x，y與集合M的關系是（　�。�
A、x∈M     y∈M
B、x∈M     y∉M
C、x∉M     y∈M
D、x∉M     y∉M

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科目：高中數學 來源： 題型：

設p、q∈R+且滿足log9p=log12q=log16（p+q），求
q
p
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知AB為球O的一條直徑，△BCD是球O的內接正三角形且邊長為2，若三棱錐A-BCD的體積為1，則球O的表面積為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列函數在（0，+∞）上是增函數的是（　�。�
A、y=9-x2
B、y=x•log0.23+1
C、y=x 
1
2
D、y=
2
x

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）是R上的偶函數，且在[0，+∞）上是增函數，又f（1）=0，則滿足f（log2x）＞0的x的取值范圍是（　�。�
A、（2，+∞）
B、（0，
1
2
）
C、（0，
1
2
）∪（2，+∞）
D、（
1
2
，2）

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科目：高中數學 來源： 題型：

設
.
z
為復數z=
1
2
-i的共軛復數，（z-
.
z
）2014=（　�。�
A、22014
B、-22014
C、22014i
D、-i

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