Question

18．在△ABC中，$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}}|$，$|{\overrightarrow{AB}}|=|{\overrightarrow{AC}}|=3$，則$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$的值為（　　）

• A． 3
• B． -3
• C． $-\frac{9}{2}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{9}{2}$，根據(jù)向量的加法的幾何意義即可求出答案

解答 解：$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}}|$，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=3
兩邊平方可得|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{AC}$|²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3|$\overrightarrow{AB}$|²+3|$\overrightarrow{AC}$|²-6$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{9}{2}$，
∴$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$=（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AB}$）$\overrightarrow{CA}$=${\overrightarrow{CA}}^{2}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}$=${\overrightarrow{CA}}^{2}$-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=9-$\frac{9}{2}$=$\frac{9}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的加法的幾何意義，以及向量數(shù)量積的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題