Question

3．已知E，F(xiàn)，G，H依次為空間四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)．
（1）求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
（2）若AC與BD相互垂直，BD=2，AC=4，求EG²+HF²；
（3）若$EG=\sqrt{7}，BD=2，AC=4$，求直線BD與AC的夾角．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，E，F(xiàn)，G，H依次為空間四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理可得：EF∥GH，即可證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
（2）由AC=4，EF=2；同理可得：EH=1．可得四邊形EFGH為矩形．利用勾股定理即可得出：EG²+HF²．
（3）由（1）可知：∠EFG或其補(bǔ)角為直線BD與AC的夾角．利用余弦定理即可得出．

解答 （1）證明：如圖所示，∵E，F(xiàn)，G，H依次為空間四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，
∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，GH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，
∴EF$\underset{∥}{=}$GH，
∴四邊形EFGH為平行四邊形．
∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
（2）解：∵AC=4，∴EF=2；同理可得：EH=1．
又AC⊥BD，∴EF⊥EH，
可得四邊形EFGH為矩形．
∴EG²+HF²=2×（2²+1²）=10．
（3）解：由（1）可知：∠EFG或其補(bǔ)角為直線BD與AC的夾角．
cos∠EFG=$\frac{{2}^{2}+{1}^{2}-（\sqrt{7}）^{2}}{2×2×1}$=-$\frac{1}{2}$，
∴直線BD與AC的夾角為60^°．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、平行四邊形與矩形的性質(zhì)、三角形中位線定理、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．