Question

13．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ax，g（x）=1-e^x．（a為常數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若x≥0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象恒在g（x）的圖象上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的圖象恒在g（x）的圖象上方，轉(zhuǎn)化為f（x）≥g（x）在x≥0時(shí)恒成立，根據(jù)不等式ln（x+1）-ax≥1-e^x，變形為ln（x+1）+e^x≥1+ax在x≥0時(shí)恒成立；討論a的值，結(jié)合函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ax，x＞-1；
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-a＞0，
f（x）在定義域（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{a}$-1，
∴x∈（-1，$\frac{1}{a}$-1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是單調(diào)增函數(shù)，
x∈（$\frac{1}{a}$-1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是單調(diào)減函數(shù)；
綜上，a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，+∞），
a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，$\frac{1}{a}$-1），單調(diào)減區(qū)間是（$\frac{1}{a}$-1，+∞）；
（Ⅱ）x≥0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象恒在g（x）的圖象上方，
即f（x）≥g（x）在x≥0時(shí)恒成立，
即ln（x+1）-ax≥1-e^x在x≥0時(shí)恒成立，
ln（x+1）+e^x≥1+ax在x≥0時(shí)恒成立；
設(shè)y₁=ln（x+1）+e^x，y₂=1+ax，其中x＞0，
則a≤0時(shí)，函數(shù)y₁的圖象在函數(shù)y₂的圖象的上方，其中x＞0，
上述不等式恒成立；
a＞0時(shí)，直線的斜率a≤$\frac{1}{x+1}$+e^x，
且x=0時(shí)，h（x）=$\frac{1}{x+1}$+e^x取得最小值2，∴0＜a≤2；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，也考查了不等式的恒成立以及轉(zhuǎn)化法與分類討論思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．