Question

9．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2}^{x}}-1，x＜1}\\{\frac{lnx}{{x}^{2}}，x≥1}\end{array}\right.$，則函數(shù)y=|f（x）|-$\frac{1}{8}$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4．

Answer 1

分析 利用分段函數(shù)，對(duì)x≥1，通過(guò)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系求解零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)x＜1時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：當(dāng)x≥1時(shí)，$\frac{lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{8}$，即lnx=$\frac{1}{8}{x}^{2}$，
令g（x）=lnx-$\frac{1}{8}{x}^{2}$，x≥1時(shí)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，
g（1）=-$\frac{1}{8}$＜0，g（2）=ln2-$\frac{1}{2}$=ln$\frac{2}{\sqrt{e}}$＞0，
g（4）=ln4-2＜0，由函數(shù)的零點(diǎn)判定定理可知g（x）=lnx-$\frac{1}{8}{x}^{2}$，有2個(gè)零點(diǎn)．
（結(jié)合函數(shù)y=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$與y=$\frac{1}{8}$可知函數(shù)的圖象由2個(gè)交點(diǎn)．）
當(dāng)x＜1時(shí)，y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2}^{x}}-1，x＜0}\\{1-\frac{1}{{2}^{x}}，x∈[0，1）}\end{array}\right.$，函數(shù)的圖象與y=$\frac{1}{8}$的圖象如圖，考查兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，
綜上函數(shù)y=|f（x）|-$\frac{1}{8}$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為：4個(gè)．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求法，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．