Question

16．已知f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{4}$]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，x∈R．
∵2x+$\frac{π}{6}$∈[$2kπ+\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{3π}{2}$]是單調(diào)遞減區(qū)間．
即$2kπ+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{3π}{2}$
解得：$kπ+\frac{π}{6}$≤x≤$kπ+\frac{2π}{3}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[$kπ+\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]
結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知：
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為2，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為$\frac{5}{2}$，
故得x∈[0，$\frac{π}{4}$]上函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2，$\frac{5}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用．屬于中檔題．