已知橢圓C：的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，直線與以橢圓C的右焦點為圓心，以為半徑的圓相切．

（1）求橢圓的方程．

（2）若過橢圓的右焦點作直線交橢圓于兩點，交y軸于點，且求證：為定值

 

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由題意可得圓的方程為,圓心到直線的距離；

根據(jù)橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形， b=c, 代入*式得，即可得到所求橢圓方程．

（2）由題意：直線的斜率存在，所以設直線方程為,將直線方程代入橢圓方程得：,

設，

應用韋達定理，

由得到

即，，得到．

試題解析：（1）由題意：以橢圓C的右焦點為圓心，以為半徑的圓的方程為,

∴圓心到直線的距離 *

∵橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形， b=c,代入*式得b=1

∴ 故所求橢圓方程為 4分

（2）由題意：直線的斜率存在，所以設直線方程為,則

將直線方程代入橢圓方程得： 6分

設，

則 ① 8分

由∴

即：， 10分

==-4

∴ 12分

考點：1．橢圓的方程及其幾何性質；2．直線與橢圓的位置關系；3．直線與圓的位置關系．

 

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A． B． C． D．

 

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A． B． C． D．

 

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，則稱函數(shù)為“函數(shù)”給出函數(shù)：， ．

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（2）求y的最大值.

 

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