【題目】已知圓,圓,動圓與圓內(nèi)切并且與圓外切,圓心的軌跡為曲線.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)已知曲線與軸交于兩點,過動點的直線與交于 (不垂直軸),過作直線交于點且交軸于點,若構(gòu)成以為頂點的等腰三角形,證明:直線, 的斜率之積為定值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)圓與圓外切且與圓內(nèi)切,所以,橢圓的定義可知,曲線是以, 為左、右焦點,長半軸長為3,短半軸長為的橢圓(右頂點除外),進而得橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)直線的方程為, , ,與橢圓聯(lián)立得,若構(gòu)成以為頂點的等腰三角形,則,得,結(jié)合韋達定理得,由即可得解.
試題解析:
(Ⅰ)由已知得圓的圓心為,半徑;圓的圓心為,半徑.
設(shè)圓的圓心為,半徑為.
因為圓與圓外切且與圓內(nèi)切,
所以,
由橢圓的定義可知,曲線是以, 為左、右焦點,長半軸長為3,短半軸長為的橢圓(右頂點除外),
其方程為.
(Ⅱ)設(shè)直線的方程為, , ,
聯(lián)立方程組消去,得,
由根與系數(shù)關(guān)系,得
若構(gòu)成以為頂點的等腰三角形,則,
即.
設(shè),則,即,
,
化簡得,
所以為定值.
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【題目】一條光線經(jīng)過P(2,3)點,射在直線l:x+y+1=0上,反射后穿過點Q(1,1).
(1)求入射光線的方程;
(2)求這條光線從P到Q的長度.
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【題目】【2018江西南康中學(xué)、于都中學(xué)上學(xué)期第四次聯(lián)考】橢圓上動點到兩個焦點的距離之和為4,且到右焦點距離的最大值為.
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)點為橢圓的上頂點,若直線與橢圓交于兩點(不是上下頂點).試問:直線是否經(jīng)過某一定點,若是,求出該定點的坐標(biāo);若不是,請說明理由;
(III)在(II)的條件下,求面積的最大值.
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【題目】已知△ABC為等腰直角三角形, , , 分別是邊和的中點,現(xiàn)將沿折起,使平面, 分別是邊和的中點,平面與, 分別交于, 兩點.
(1)求證: ;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求的長.
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【題目】已知向量, .
(1)若分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6),先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù),求滿足的概率;
(2)若在連續(xù)區(qū)間上取值,求滿足的概率.
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【題目】某禮品店要制作一批長方體包裝盒,材料是邊長為的正方形紙板.如圖所示,先在其中相鄰兩個角處各切去一個邊長是的正方形,然后在余下兩個角處各切去一個長、寬分別為、的矩形,再將剩余部分沿圖中的虛線折起,做成一個有蓋的長方體包裝盒.
(1)求包裝盒的容積關(guān)于的函數(shù)表達式,并求函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)為多少時,包裝盒的容積最大?最大容積是多少?
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