Question

【題目】某禮品店要制作一批長方體包裝盒，材料是邊長為的正方形紙板．如圖所示，先在其中相鄰兩個角處各切去一個邊長是的正方形，然后在余下兩個角處各切去一個長、寬分別為、的矩形，再將剩余部分沿圖中的虛線折起，做成一個有蓋的長方體包裝盒．

(1)求包裝盒的容積關(guān)于的函數(shù)表達式，并求函數(shù)的定義域；

(2)當(dāng)為多少時，包裝盒的容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

【答案】（1） ，函數(shù)的定義域為．（2）切去的正方形邊長時，包裝盒的容積最大，最大容積是．

【解析】試題分析：（1）先用x表示長寬高，再根據(jù)長方體體積公式列函數(shù)解析式，最后根據(jù)實際意義確定定義域（2）求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，確定單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值

試題解析：（1）因為包裝盒高，底面矩形的長為，寬為，

所以鐵皮箱的體積 ．

函數(shù)的定義域為．

（2）由（1）得， ，

令，解得．

當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞減．

所以函數(shù)在處取得極大值，這個極大值就是函數(shù)的最大值．

又．

答：切去的正方形邊長時，包裝盒的容積最大，最大容積是．