Question

11．已知y=f（x）的定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4}sin\frac{π}{4}x，0≤x≤2}\\{（\frac{1}{2}）^{x}+1，x＞2}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0（a，b∈R）有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，在實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）∪（-$\frac{9}{4}$，-1）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性作出函數(shù)f（x）的圖象，利用換元法判斷函數(shù)t=f（x）的根的個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
則f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上遞增，在（-2，0）和（2，+∞）上遞減，
當(dāng)x=±2時(shí)，函數(shù)取得極大值f（2）=$\frac{5}{4}$；
當(dāng)x=0時(shí)，取得極小值0．

要使關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
設(shè)t=f（x），則當(dāng)t＜0，方程t=f（x），有0個(gè)根，
當(dāng)t=0，方程t=f（x），有1個(gè)根，
當(dāng)0＜t≤1或t=$\frac{5}{4}$，方程t=f（x），有2個(gè)根，
當(dāng)1＜t＜$\frac{5}{4}$，方程t=f（x），有4個(gè)根，
當(dāng)t＞$\frac{5}{4}$，方程t=f（x），有0個(gè)根．
則t²+at+b=0必有兩個(gè)根t₁、t₂，
則有兩種情況符合題意：
①t₁=$\frac{5}{4}$，且t₂∈（1，$\frac{5}{4}$），
此時(shí)-a=t₁+t₂，
則a∈（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；
②t₁∈（0，1]，t₂∈（1，$\frac{5}{4}$），
此時(shí)同理可得a∈（-$\frac{9}{4}$，-1），
綜上可得a的范圍是（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）∪（-$\frac{9}{4}$，-1），
故答案為（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）∪（-$\frac{9}{4}$，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合函數(shù)奇偶性的對(duì)稱性，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．