Question

16．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=1，BC=2，∠DCB=60°，在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)C作l⊥CB，將梯形ABCD以l為軸旋轉(zhuǎn)一周
（1）求旋轉(zhuǎn)體的體積；
（2）求旋轉(zhuǎn)體的表面積．

Answer 1

分析 （1）旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體為圓柱中挖去一個倒放的與圓柱等高的圓錐，由此能求出旋轉(zhuǎn)體的體積．
（2）先求出圓柱的側(cè)面積、底面積，再求出圓錐的側(cè)面積、底面積和旋轉(zhuǎn)體上底面的面積，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體為圓柱中挖去一個倒放的與圓柱等高的圓錐，
$CD=\frac{BC-AD}{cos60°}=2，AB=CDsin60°=\sqrt{3}$，
∴小圓錐的半徑r=BC-AD=1，
$圓柱的體積{V_1}=π{R^2}h=π×{2^2}×\sqrt{3}=4\sqrt{3}π$，
$圓錐的體積{V_2}=\frac{1}{3}π{r^2}h=\frac{1}{3}π×{1^2}×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}π$，
∴$旋轉(zhuǎn)體的體積V={V_1}-{V_2}=4\sqrt{3}π-\frac{{\sqrt{3}}}{3}π=\frac{{11\sqrt{3}}}{3}π$…（5分）
$（2）圓柱的側(cè)面積{S_1}=2πRl=2π×2×\sqrt{3}=4\sqrt{3}π$
圓錐的側(cè)面積S₂=πrl=π×1×2=2π，
$圓柱的底面積{S_3}=π{R^2}=π×{2^2}=4π$，
$圓錐的底面積{S_4}=π{r^2}=π×{1^2}=π$，
旋轉(zhuǎn)體上底面的面積S₅=S₃-S₄=3π，
∴$旋轉(zhuǎn)體的表面積={S_1}+{S_2}+{S_3}+{S_5}=（4\sqrt{3}+9）π$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．