Question

6．已知函數f（x）=ln（ax）-$\frac{x-a}{x}$（a＞0）
（Ⅰ）若函數f（x）的最小值為2，求a的值；
（Ⅱ）當a=1時，是否存在過點（1，-1）的直線與函數y=f（x）的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的最小值即可；
（Ⅱ）先求出函數的定義域，再求導，然后分類討論求出函數的單調區(qū)間和最值；（Ⅱ）求導數，利用導數的幾何意義進行判斷．

解答 解（Ⅰ）由題意知，定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0，由于a＞0，則x=a；
故當x＞a時，f′（x）＞0，f（x）遞增，當0＜x＜a時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
故f（x）_min=f（a）=2lna=2，a=e；--------------（4分）
（Ⅱ）當a=1時，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，（x＞0）
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0），
設切點為T（x₀，lnx₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$-1），
∴切線的斜率k=$\frac{{x}_{0}-1}{{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{l{nx}_{0}+\frac{1}{{x}_{0}}-1-1}{{x}_{0}+1}$，
∴l(xiāng)nx₀+$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$+$\frac{1}{{x}_{0}}$-3=0，①
設g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-3，
∴g′（x）=$\frac{{x}^{2}-x-1}{{x}^{3}}$，
令g′（x）=0，解得x=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，∵x＞0，
∴g（x）在區(qū)間（0，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$）是減函數，（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）上是增函數，
∵g（1）=ln1+1+1-3=-1＜0，g（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{2}$+2+4-3=3-ln2＞0，
注意到g（x）在其定義域上的單調性，知g（x）=0僅在（$\frac{1}{2}$，1）內有且僅有一根，
所以方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條．

點評 本題主要考查利用導數研究函數的性質，要求熟練掌握導數和函數單調性，極值之間的關系，考查學生的運算能力．