Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x3+x2 ．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）當(dāng)x∈[m，n]（0＜m＜n）時(shí)，若f（x）的值域?yàn)閇3m2+2m﹣1，3n2+2n﹣1]，求實(shí)數(shù)m，n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x3+x2，

故當(dāng)x＜0時(shí)，則﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）2=﹣x3+x2，

由于f（x）是奇函數(shù)，則f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣x2，

又f（0）=0，

故當(dāng)x∈R時(shí)，

（2）解：∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x3+x2，

∴f'（x）=3x2+2x＞0，

∴f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，

∴ ∴ ，

∴m，n為x3﹣2x2﹣2x+1=0的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，

∵x3﹣2x2﹣2x+1=（x+1）（x2﹣3x+1），

∴m，n為x2﹣3x+1=0的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，

又由題意可知：0＜m＜n，

∴ ，

【解析】（1）設(shè)x<0，則-x>0,代入解析式f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）2=﹣x3+x2，根據(jù)奇函數(shù)f（-x）=-f（x），從而得到f（x）的解析式，（2）假設(shè)存在滿足條件的m，n，則m，n必為方程x3﹣2x2﹣2x+1=0的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，即可求出結(jié)果.
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)的值域是解答本題的根本，需要知道求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的．